05. Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

29 Απρίλιος 2026

Τροποποιημένο

2 Μάιος 2026

1 Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας



ΣυμβουλήΑκολουθήστε τις οδηγίες
  1. Αλλάξτε διαδοχικά 3 φορές θέση στο σημείο Α. Σε κάθε θέση υπολογίστε τον λόγο \(\dfrac{AB}{OB}\)

  • \(\dfrac{AB}{OΒ} = ..........\)

  • \(\dfrac{AB}{OΒ} = ..........\)

  • \(\dfrac{AB}{OΒ} = ..........\)

  1. Τι παρατηρείτε; Αν και τα τμήματα αλλάζουν μέγεθος ο λόγος \(\dfrac{AB}{OΒ}\) _______________________.

  2. Αλλάξτε τώρα την γωνία \(\hat ω\) μετακινώντας πάνω κάτω το σημείο Κ.

Ξανακάντε τα βήματα 1, 2. Τι παρατηρείτε; Όταν η γωνία αλλάζει τότε αλλάζει και ο _________________.

  1. Επαναλάβατε το βήμα 3 για δυο ακόμη διαφορετικές τιμέ της γωνίας. Τι παρατηρείτε;



ΣυμβουλήΑκολουθήστε τις οδηγίες
  1. Αλλάξτε διαδοχικά 3 φορές θέση στο σημείο Α. Σε κάθε θέση υπολογίστε τον λόγο \(\dfrac{OA}{OB}\)

  • \(\dfrac{OA}{OΒ} = ..........\)

  • \(\dfrac{OA}{OΒ} = ..........\)

  • \(\dfrac{OA}{OΒ} = ..........\)

  1. Τι παρατηρείτε; Αν και τα τμήματα αλλάζουν μέγεθος ο λόγος \(\dfrac{OA}{OΒ}\) _______________________.

  2. Αλλάξτε τώρα την γωνία \(\hat ω\) μετακινώντας πάνω κάτω το σημείο Κ.

Ξανακάντε τα βήματα 1, 2. Τι παρατηρείτε; Όταν η γωνία αλλάζει τότε αλλάζει και ο _________________.

  1. Επαναλάβατε το βήμα 3 για δυο ακόμη διαφορετικές τιμέ της γωνίας. Τι παρατηρείτε;

Για μια οξεία γωνία ( \(\theta\) ) (δηλαδή (\(0^\circ < \theta < 90^\circ\))), τα βασικά τριγωνομετρικά μεγέθη ορίζονται συνήθως σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο:

  • Ημίτονο: λόγος απέναντι κάθετης πλευράς προς υποτείνουσα
  • Συνημίτονο: λόγος προσκείμενης πλευράς προς υποτείνουσα
  • Εφαπτομένη: λόγος απέναντι προς προσκείμενη πλευρά

Πιο συγκεκριμένα:

\[ημ\theta = \frac{\text{απέναντι}}{\text{υποτείνουσα}}, \quad συν\theta = \frac{\text{προσκείμενη}}{\text{υποτείνουσα}}, \quad εφ\theta = \frac{\text{απέναντι}}{\text{προσκείμενη}}\]

1.1 🔗 Σχέση ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης

Η πιο σημαντική σχέση που τα συνδέει είναι:

\(εφ\theta = \dfrac{ημ\theta}{συν\theta}\)

Αυτό σημαίνει ότι:

  • Η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι το πηλίκο του ημιτόνου προς το συνημίτονο.

1.2 ➕ Βασική ταυτότητα

Επίσης ισχύει η γνωστή ταυτότητα:

\[ημ^2\theta + συν^2\theta = 1\]

Από αυτή μπορούμε να βρίσκουμε το ένα μέγεθος αν ξέρουμε το άλλο.

1.3 ✔️ Παρατηρήσεις για οξείες γωνίες

  • Όλες οι τιμές είναι θετικές
  • (\(0 < ημ\theta < 1\))
  • (\(0 < συν\theta < 1\))
  • (\(εφ\theta > 0\))



1.4 Αποδείξεις

🔷 Απόδειξη της σχέσης ( \(εφ\theta = \dfrac{ημ\theta}{συν\theta}\) )

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο με μια οξεία γωνία ( \(\theta\) ):

  • απέναντι πλευρά: (β)
  • προσκείμενη πλευρά: (γ)
  • υποτείνουσα: (α)

Από τους ορισμούς:

\[ημ\theta = \dfrac{β}{α}, \quad συν\theta = \dfrac{γ}{α}, \quad εφ\theta = \dfrac{β}{γ}\]

Υπολογίζουμε το πηλίκο:

\[\begin{equation} \dfrac{ημθ}{συνθ}=\dfrac{\dfrac{β}{α}}{\dfrac{γ}{α}}=\dfrac{β}{\cancel{α}}\cdot\dfrac{\cancel{α}}{γ}=\dfrac{β}{γ}=εφθ \end{equation}\]

Άρα:

\(εφ\theta = \dfrac{ημ\theta}{συν\theta}\)

🔷 Απόδειξη της ταυτότητας (\(ημ^2\theta + συν^2\theta = 1\) )

Ξεκινάμε από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ίδιο τρίγωνο:

\(β^2 + γ^2 = α^2\)

Διαιρούμε όλα τα μέλη με (\(α^2\)):

\(\dfrac{β^2}{α^2} + \dfrac{γ^2}{α^2} = 1\)

Γράφουμε με βάση τους ορισμούς:

\(\left(\dfrac{β}{α}\right)^2 + \left(\dfrac{γ}{α}\right)^2 = 1\)

Άρα:

\(ημ^2\theta + συν^2\theta = 1\)


1.5 Ασκήσεις

Μέρος Α’ - Βασικές Ασκήσεις Εμπέδωσης

Άσκηση 1 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°) με πλευρές ΑΒ = 3 cm, ΑΓ = 4 cm. Να υπολογιστούν:

α) η υποτείνουσα ΒΓ

β) οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β

γ) οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Γ

Άσκηση 2 Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η γωνία θ έχει ημίτονο \(\dfrac{3}{5}\). Να υπολογιστούν:

α) το συνημίτονο της γωνίας θ

β) η εφαπτομένη της γωνίας θ (Χρήση της ταυτότητας \(ημ^2θ + συν^2θ = 1\))

Άσκηση 3 Αν \(ημ θ = \dfrac{12}{13}\), να βρεθούν οι τιμές των \(συν θ\) και \(εφ θ\) χωρίς να υπολογίσεις τη γωνία θ.

Άσκηση 4 Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η μία κάθετη πλευρά είναι 5 cm και η υποτείνουσα είναι 13 cm. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της οξείας γωνίας απέναντι από την άγνωστη κάθετη πλευρά.

Άσκηση 5 Αν \(συν ω = \dfrac{4}{5}\), να υπολογιστούν τα \(ημ ω\), \(εφ ω\) και να επαληθευτεί η ταυτότητα \(ημ^2ω + συν^2ω = 1\).

Άσκηση 6 Στο τρίγωνο του σχήματος, η γωνία θ έχει \(ημ θ = 0,6\) και η απέναντι πλευρά είναι 9 cm. Να βρεθούν η υποτείνουσα και η προσκείμενη πλευρά.

Μέρος Β’ - Εφαρμογές Πυθαγορείου & Ταυτότητας

Άσκηση 7 Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα 25 cm. Αν η μία γωνία του έχει \(ημ θ = \dfrac{7}{25}\), να βρεθούν οι κάθετες πλευρές (με δύο τρόπους: Πυθαγόρειο και τριγωνομετρία).

Άσκηση 8 Δίνεται ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει \(ημ θ = \dfrac{2}{3}\). Να αποδειχθεί ότι \(\dfrac{1 - συν θ}{1 + συν θ} = \dfrac{1}{5}\).

Άσκηση 9 Ένας κατασκευαστής θέλει να φτιάξει μια ράμπα μήκους 8 m που να σχηματίζει γωνία 20° με το έδαφος. Να υπολογιστούν:

α) το ύψος που θα φτάνει η ράμπα

β) η οριζόντια απόσταση από την αρχή της ράμπας

Άσκηση 10 Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η μία κάθετη πλευρά είναι 4 cm μεγαλύτερη από την άλλη κάθετη και η υποτείνουσα είναι 20 cm. Να βρεθούν:

α) οι κάθετες πλευρές

β) τα ημίτονα και συνημίτονα των οξειών γωνιών

Άσκηση 11 Αν \(εφ θ = \dfrac{5}{12}\), να υπολογιστούν οι τιμές των \(ημ θ\) και \(συν θ\) χωρίς υπολογιστή. (Υπόδειξη: Σχεδίασε ορθογώνιο τρίγωνο με απέναντι = 5, προσκείμενη = 12)

Μέρος Γ’ - Προβλήματα Αποστάσεων & Υψών

Άσκηση 12 (Ύψος κτιρίου) Ένας παρατηρητής στέκεται σε απόσταση 50 m από ένα κτίριο. Η γωνία ανύψωσης προς την κορυφή είναι 35°. Να βρεθεί το ύψος του κτιρίου.

Άσκηση 13 (Δύο γωνίες ανύψωσης) Ένα drone πετά σε σταθερό ύψος. Από ένα σημείο Α στο έδαφος, η γωνία ανύψωσης προς το drone είναι 30°. Μετακινούμαστε 100 m πιο κοντά (σημείο Β) και η γωνία γίνεται 45°. Να βρεθεί το ύψος που βρίσκεται το drone.

Άσκηση 14 (Πλάτος ποταμού) Για να μετρήσουμε το πλάτος ενός ποταμού, στεκόμαστε σε ένα σημείο Α στην όχθη και βλέπουμε ένα δέντρο στην απέναντι όχθη υπό γωνία 25° σε σχέση με την κάθετο στην όχθη στο σημείο που είναι το δέντρο. Μετακινούμαστε 30 m παράλληλα στην όχθη (προς την κάθετο) και η γωνία γίνεται 40°. Να βρεθεί το πλάτος του ποταμού.

Άσκηση 15 (Σκάλα) Μια σκάλα μήκους 6 m ακουμπά σε έναν τοίχο και σχηματίζει γωνία 65° με το έδαφος. Να βρεθούν:

α) το ύψος που φτάνει στον τοίχο

β) η απόσταση της βάσης της σκάλας από τον τοίχο

γ) πόσο πρέπει να απομακρυνθεί η βάση για να σχηματίσει γωνία 55°

Άσκηση 16 (Ανεμόπτερο) Ένας ανεμοπόρος πετά σε ύψος 300 m. Βλέπει ένα σημείο στο έδαφος υπό γωνία κατάδυσης (γωνία που σχηματίζει η “κατακόρυφος στο σημείο που βρίσκεται το ανεμόπτερο” με την ευθεία “σημείο εδάφους -ανεμόπτερο”) 15°. Ποια είναι η οριζόντια απόστασή του από το σημείο;

Μέρος Δ’ - Σύνθετα Προβλήματα

Άσκηση 17 (Λόφος και δύο παρατηρητές) Δύο παρατηρητές βρίσκονται σε απόσταση 200 m μεταξύ τους στην ίδια ευθεία από έναν λόφο. Ο πρώτος βλέπει την κορυφή του λόφου υπό γωνία 28°, ο δεύτερος υπό γωνία 18°. Να βρεθεί το ύψος του λόφου. (Υπόδειξη: Έστω x η απόσταση του πρώτου από το λόφο, το ύψος h = x·εφ28° = (200+x)·εφ18°)

Άσκηση 18 (Τρίγωνο χωρίς ορθή γωνία) Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η ΑΒ = 7 cm, η ΑΓ = 9 cm και η γωνία Α = 40°. Φέρνουμε το ύψος ΒΔ στην ΑΓ. Να υπολογιστούν:

α) το μήκος του ΒΔ

β) η γωνία Β του τριγώνου (Χρήση ημιτόνου και Πυθαγορείου στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ)

Άσκηση 19 (Πλοία - Πρόβλημα πολλαπλών σταδίων)

Δύο πλοία Α και Β βρίσκονται στη θάλασσα, σε ευθεία γραμμή ανατολής-δύσης. Το πλοίο Β βρίσκεται 100 m ανατολικά του πλοίου Α.

Και τα δύο πλοία βλέπουν την κορυφή ενός φάρου Φ, που βρίσκεται στην ακτή. Η βάση του φάρου είναι το σημείο Ο (στην ίδια στάθμη με τα πλοία).

  • Από το πλοίο Α, η γωνία ανύψωσης προς την κορυφή του φάρου είναι 15°
  • Από το πλοίο Β, η γωνία ανύψωσης προς την κορυφή του φάρου είναι 10°

Να υπολογιστούν:

1. Το ύψος του φάρου

2. Η απόσταση του φάρου από κάθε πλοίο

\(ΟΑ = S_A\) (άγνωστη απόσταση βάσης φάρου από πλοίο Α) \(ΟΒ = S_B=S_A + 100\) ΟΦ = υ = ύψος φάρου

Λύση

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΦ: \[εφ 15° = \frac{υ}{S_A} \quad \Rightarrow \quad υ = S_A \cdot εφ 15°\]

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΦ: \[εφ 10° = \frac{υ}{S_A + 100} \quad \Rightarrow \quad υ = (S_A + 100) \cdot εφ 10°\]

Εξισώνω: \[S_A \cdot εφ 15° = (S_A + 100) \cdot εφ 10°\]

Λύστε και υπολογίστε το \(S_A\)

Συνεχίστε με τα υπόλοιπα ζητούμενα

Τελικές απαντήσεις

Μέγεθος Τιμή
Ύψος φάρου (υ) ≈ 51,6 m
Απόσταση βάσης φάρου από πλοίο \(S_Α\) ≈ 192,5 m
Απόσταση βάσης φάρου από πλοίο \(S_Β\) ≈ 292,5 m
Απόσταση πλοίου Α από κορυφή (ΑΦ) ≈ 199,2 m
Απόσταση πλοίου Β από κορυφή (ΒΦ) ≈ 297,0 m
Ανατρέξτε στους τριγωνομετρικούς πίνακες


Άσκηση 20 Ύψος αεροπλάνου

Αεροπλάνο απογειώνεται με γωνία 20° και διανύει 500 m κατά μήκος της τροχιάς. Σε ποιο ύψος βρίσκεται;

Άσκηση 21 Απόσταση πλοίου

Ένας φάρος έχει ύψος 40 m. Ένα πλοίο βλέπει την κορυφή υπό γωνία 15°. Πόσο απέχει το πλοίο από το φάρο;

Άσκηση 22 Δορυφόρος

Από έναν σταθμό παρατήρησης βλέπουμε έναν δορυφόρο υπό γωνία ανύψωσης θ. Ο δορυφόρος βρίσκεται σε ύψος 400 km. Βρείτε ην οριζόντια απόσταση σταθμού-δορυφόρου.

ΣυμβουλήΝα τηρείτε τον παρακάτω κανόνα

Σε όλα αυτά τα προβλήματα, δοκιμάστε πρώτα να κάνετε ένα πρόχειρο σχήμα (ένα ορθογώνιο τρίγωνο) και να σημειώσετε ποια πλευρά είναι η υποτείνουσα.

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !